Class 8 Maths Chapter 1 Notes in Hindi वर्ग और घन

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A Square and A Cube Class 8 Notes in Hindi Medium

वर्ग और घन कक्षा 8 नोट्स

कक्षा 8 गणित अध्याय 1 नोट्स वर्ग और घन

→ किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने पर प्राप्त संख्या को वर्ग संख्या कहते हैं। प्राकृत संख्याओं वर्गों को पूर्ण वर्ग कहते हैं।

→ सभी पूर्ण वर्ग संख्याएँ 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती हैं। वर्गों के अंत में केवल सम संख्या में शून्य हो सकते हैं।

→ वर्गमूल वर्ग की व्युत्क्रम संक्रिया है। प्रत्येक पूर्ण वर्ग के दो पूर्णांक वर्गमूल होते हैं। किसी संख्या का धनात्मक वर्गमूल √ चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए √9 = 3है।

→ किसी संख्या को स्वयं से तीन बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या को घन कहते हैं। उदाहरण के लिए 1, 8, 27…. घन हैं।

→ एक संख्या पूर्ण वर्ग होती है यदि उसके अभाज्य गुणनखंडों को दो समान समूहों में विभाजित जा सके।

→ एक संख्या पूर्ण घन होती है यदि उसके अभाज्य गुणनखंड़ों को तीन समान समूहों में विभाजित किया जा सके।

→ \(\sqrt[3]{ }\) का चिह्न घनमूल को दर्शाता है। उदाहरण के लिए \(\sqrt[3]{27}\) = 3 है।

→ वर्ग संख्याएँ

• एक वर्ग संख्या एक पूर्णांक को स्वयं से गुणा करके प्राप्त की जा सकती है।
  उदाहरण: (3 × 3 = 9), अतः, 9 एक वर्ग संख्या है।
• पूर्ण वर्ग : ये प्राकृत संख्याओं के वर्ग हैं तथा इनके अद्वितीय गुण हैं।

→ पूर्ण वर्गों के गुण

• इकाई के अंक
  पूर्ण वर्ग 0, 1,4,5,6 या 9 पर अंत हो सकते हैं। यदि कोई संख्या 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त होती है, तो वह एक पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।
• विशिष्ट स्थितियाँ
  यदि कोई संख्या । या 9 पर समाप्त होती है, तो उसका वर्ग 1 पर समाप्त होता है।
  यदि कोई संख्या 2 या 8 पर समाप्त होती है, तो उसका वर्ग 4 पर समाप्त होता है।
  यदि कोई संख्या 3 या 7 पर समाप्त होती है, तो उसका वर्ग 9 पर समाप्त होता है।
  यदि कोई संख्या 4 या 6 पर समाप्त होती है, तो उसका वर्ग 6 पर समाप्त होता है।
  यदि कोई संख्या 5 पर समाप्त होती है. तां उसका वर्ग 5 पर समाप्त होता है।
  यदि कोई संख्या 0 पर समाप्त होती हैं, तो उसका वर्ग 0 पर समाप्त होता है।

→ पूर्ण वर्ग और विषम संख्याएँ
संबंध : प्रथम n विषम संख्याओं का योग n² होता है।
उदाहरण:
(1 = 1²)
(1 + 3 = 4 = 2²)
(1 + 3 + 5 = 9 = 3²)

→ वर्गमूल
परिभाषा: वर्गमूल ज्ञात करना वर्ग करने की प्रतिलोम संक्रिया है। इसे (√y) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ (y = x²) है। उदाहरण : √9 = 3 है, क्योंकि 3 × 3 = 9 है।

→ अभाज्य गुणनखंडन और पूर्ण वर्ग
विधि : इसकी जाँच करने के लिए कोई संख्या एक पूर्ण वर्ग है, अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग कीजिए।
उदाहरण :
(324) के लिए ( 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3)
समूहन (324 = (2 × 3 × 3) × 2 × 3 × 3)
= (2 × 3 × 3)²
अत:, (324 = 18²)
संकल्प

→ घन संख्याएँ
परिभाषा : एक संख्या जो स्वयं से तीन बार गुणा करके प्राप्त होती है।
उदाहरण : (1³ = 1), (2³ = 8 ), (3³ = 27) इत्यादि।
पूर्ण घन संख्याएँ : वे संख्याएँ, जिन्हें एक संख्या के घन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
उदाहरण :
(1³ = 1) (2³ = 8)
(3³ = 27) (4³ = 64)
(5³ = 125)

→ टैक्सीकैब संख्याएँ
वे संख्याएँ, जिन्हें दो संख्याओं के घनों के रूप में एक से अधिक प्रकार से लिखा जा सकता है।
उदाहरण
(1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³)

→ पूर्ण घन और क्रमागत विषम संख्याएँ
संबंध : प्रत्येक पूर्ण घन को कुछ क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
उदाहरण :
(1³ = 1) (1 विषम संख्या का योग)
(2³ = 8) (2 विषम संख्याओं का योग : (3 + 5)
(3³ = 27 ) (3 विषम संख्याओं का योग [7 – 9 + 11])

→ घनमूल
परिभाषा : एक संख्या (y) का घनमूल वह संख्या है. जिसे स्वयं से तीन बार गुणा करने पर y प्राप्त हो। इसे \(\sqrt[3]{y}\) द्वारा व्यक्त किया जाता है।
उदाहरण : \(\sqrt[3]{8}\) = 2 है, क्योंकि (2³ = 8), \(\sqrt[3]{27}\) = 3 है, क्योंकि 3³ = 2.7 है, \(\sqrt[3]{64}\) = 4 है, क्योंकि 4³ = 64 है, इत्यादि।

→ क्रमागत अंतर
संकल्पना : क्रमागत पूर्ण घनों के बीच में अंतरों को ज्ञात करने पर पैटर्न प्रकट होते हैं।
उदाहरण: 1³ = 1, 2³ = 8 इत्यादि।
अंतर : (8 – 1 = 7), ( 27 – 8 = 19), इत्यादि।
आगे के अंतर से एक निश्चित पैटर्न प्रदर्शित होगा।

→ इतिहास की एक झलक
ऐतिहासिक संदर्भ : पूर्ण वर्ग और पूर्ण घनों के अध्ययन का
समयकाल प्राचीन सभ्यताओं में पाया जा सकता है।

1. बेबीलोन के निवासियों ने लगभग 1700 BCE में पूर्ण वर्गों और पूर्ण घनों की सूची बना ली थी।
2. प्राचीन भारत में, वर्ग (वर्गा) और घन (घना) जैसे पदों का गणितीय पाठ्यसामग्री में उपयोग किया जाता था।

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